博客

例：已知各项均为正数的数列$\{a_n\}\mathrm{满}\mathrm{足}：a_1=3,a_{n+1}^2-a_n^2=2n+5(n\in N\ast ).$
(1）求数列$\{a_n\}$的通项公式。[[mathematics/等比数列|等比数列]][[mathematics/数列求和的几种常用方法|数列求和的几种常用方法]]

(2）设$b_n=\{\begin{array}{l}{a}_n,n\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}\mathrm{时}；\\ 2^{\frac{a_n-2}{2}},n\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{时}\end{array}$,求$b_1{b}_2+b_3{b}_4+\dots b_{19}{b}_{20}$

例：已知数列数列$\{a_n\}\mathrm{满}\mathrm{足}{a}_1=2,a_2=3,2a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n,\mathrm{求}{a}_n$
大招：该特征方程为$2x^2=3x=1,\mathrm{解}\mathrm{得}{x}_1=1,x_2=\frac{1}{2}$

$$\mathrm{令}{a}_n=A\cdot 1^n+B\cdot ({\frac{1}{2}}^n)$$$$\mathrm{代}\mathrm{入}{a}_1=2,a_2=3,\mathrm{得}$$$$\{\begin{array}{l}2=A\cdot 1^1+B\cdot (\frac{1}{2}{)}^1\\ 3=A\cdot 1^2+B\cdot (\frac{1}{2}{)}^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}A=4\\ B=-4\end{array}$$

所以

$$a_n=4-(\frac{1}{2}{)}^{n-2}$$

结论：若$x_1\ne x_2,\mathrm{则}\mathrm{令}{a}_n=A\cdot x_1^n+B\cdot x_2^n,$
$\mathrm{若}{x}_1=x_2，\mathrm{则}\mathrm{令}{a}_n=(A+nB)\cdot x_1^n$

常规解法
$2a_n=3a_{n-1}-a_{n-2}$
$2a_{n-1}=3a_{n-2}-a_{n-3}$
$2a_{n-2}=3a_{n-3}-a_{n-4}$
$2a_{n-3}=3a_{n-4}-a_{n-5}$
$2a_{n-4}=3a_{n-5}-a_{n-6}$
$\cdots \cdots$
$2a_3=3a_2-a_1$
各式两边相加，得：
$2(S_n-a_2-a_1)=3(S_{n-1}-a1)-S_{n-2}$
$S_n-a_2-a_1=\frac{3}{2}(S_{n-1}-a1)-\frac{1}{2}{S}_{n-2}$
$S_n-3-2=\frac{3}{2}{S}_{n-1}-3-\frac{1}{2}{S}_{n-2}$
$S_n-S_{n-1}=\frac{1}{2}(S_{n-1}-S_{n-2})+2$
$a_n=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+2$
$a_n-4=\frac{1}{2}(a_{n-1}-4)$
故$\{a_n-4\}\mathrm{是}\mathrm{以}{a}_1-4\mathrm{为}\mathrm{首}\mathrm{项}，\mathrm{公}\mathrm{比}\mathrm{为}\frac{1}{2}$的等比数列。
$a_n-4=-2\cdot (\frac{1}{2}{)}^{n-1}$
$a_n=4-(\frac{1}{2}{)}^{n-2}$

差等数列有关公式：

通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}\mathrm{公}\mathrm{式}：S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

等差数列的常用性质

• 若$\{a_n\}\mathrm{为}\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列}，\mathrm{且}p+q=s+t,\mathrm{则}{a}_p+a_q=a_s+a_t(pqst\in N^{\ast }$
• 当$d\ne 0\mathrm{时}，\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列}\{a_n\}\mathrm{的}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}{S}_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$是关于n的二次函数。
• 若$\{a_n\}\mathrm{是}\mathrm{公}\mathrm{差}\mathrm{为}d\mathrm{的}\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列}，\mathrm{则}{a}_k,a_{k+m},a_{k+2m},a_{k+3m},\cdots$也是等差数列；
• 在等差数列$\{a_n\}\mathrm{中}，\mathrm{数}\mathrm{列}{S}_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m},\cdots$也是等差数列，且有$S_{2n}=n(a_1+a_{2n})=\cdots =n(a_n+a_{n+1})\mathrm{偶}\mathrm{数}\mathrm{项},S_{2n-1}=(2n-1)a_n$奇数项
  说人话：等差数列连续相邻的相同项数之和，也组成等差数列。

常用结论

• 等差数列公式推广：$a_n=a_m+(n-m)d$
• 已知数列$\{a_n\}\mathrm{的}\mathrm{通}\mathrm{项}\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{是}{a}_n=pn+q(\mathrm{其}\mathrm{中}p，q\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})$，则数列一定是等差数列。且公差为p
• 数列$\{a_n\}\mathrm{是}\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列}\iff S_n=A\cdot n^2+B\cdot n$(A,B为常数)，这里公差d=2A。求导。
• 若$\{a_n\},\{b_n\}\mathrm{均}\mathrm{为}\mathrm{等}\mathrm{差}\mathrm{数}\mathrm{列},\mathrm{且}\mathrm{其}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}\mathrm{为}{S}_n,T_n,\mathrm{则}\frac{a_n}{b_n}=\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{(2n-1)(a_1+a_{2n-1})}{(2n-1)(b_1+b_{2n-1})}=\frac{a_n+a_n}{b_n+b_n}$
• 说人话：两个等差数列的前2n-1奇数项之的之比等于这两列数列的中间项之比。

等差数列判断：

• 定义法a_n-a_{n-1}为常数。
• 等差中项公式：$2a_{n-1}=a_n+a_{n-2}(n\ge 3)$
• 通项公式:$a_n=pn+q(p,q\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})$
• 前n项和公式：$S_n=A\cdot n^2+B\cdot n(A,B$为常数)

例题：

例1：记$S_n\mathrm{为}\mathrm{数}\mathrm{列}\{a_n\}\mathrm{的}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}，b_n\mathrm{为}\mathrm{数}\mathrm{列}\mathrm{的}|\{S_n\}\mathrm{的}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{积}，\mathrm{已}\mathrm{知}\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$.
(1)证明：数列$\{b_n\}$是等差数列；
(2)求$\{a_n\}$的通项公式。
$Sn=\frac{b_n}{b_{n-1}}$,代入已知，得
$\frac{2b_{n-1}}{bn}+\frac{1}{b_n}=2\Rightarrow b_n-b_{n-1}=\frac{1}{2}$
$\frac{2}{b_1}+\frac{1}{b_1}=2\Rightarrow b_1=\frac{3}{2}$
$b_n=\frac{3}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n+2}{2}$
$S_n=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\frac{\frac{n+2}{2}}{\frac{n+1}{2}}=\frac{n+2}{n+1}=\frac{1}{n+1}+1$
当$n\ge 2\mathrm{时}，a_n=S_n-S_{n-1}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}＝-\frac{1}{n(n+1)}$
$n=1,a_1=b_1=\frac{3}{2}$
故$a_n=\{\begin{array}{l}\frac{3}{2},n=1\\ -\frac{1}{n(n+1)},n\ge 2\end{array}$
此处通项公式不能合并！

例2.已知等差数列$\{a_n\}\mathrm{的}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}\mathrm{为}\{S_n\},\mathrm{若}{a}_1=2,S_3=S_{21},\mathrm{则}{S}_{23}$为($$)
A、1、B、2、C.3、D.4
$S_{21}-S_3=a_4+a_5+\cdots +a_{20}+a_{21}=0$
$S_{23}=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+\cdots +a_{20}+a_{21}+a_{22}+a_{23}=a_1+a_2+a_3+a_{22}+a_{23}=a_1=2$
$\because a_2+a_{23}=a_3+a_{22}=0$

例3.已知等差数列前n项和为$S_n，S_3=9,S_6=63,\mathrm{求}{a}_7+a_8+a_9$
A、63 B、71 C、99 D、117

例4.设等差数列$\{a_n\},\{b_n\}\mathrm{的}\mathrm{前}n\mathrm{项}\mathrm{和}\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{是}{S}_n，T_n，$若$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3n+7}{2n}，$则$\frac{a_6}{b_6}$ 等于($$)
$A.\frac{20}{17}B.\frac{20}{11}C.\frac{17}{22}D.\frac{17}{12}$