博客

2015年陕西卷题
椭圆E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}(a>b>0)$经过A(0,-1),且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
求:(1)椭圆方程：$\frac{x^2}{2}+y^2=1$
(2)经过点$(1,1)$，且斜率为$k$的直线与椭圆E交于不同的两点$P,Q$（均异于点A)，证明直线AP与AQ的斜率之和为2.

法一：
解：设过点(1,1)斜率为k的直线方程为:$y-1=k(x-1)\Rightarrow y=kx+1-k$
PQ两点的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),k_{AP}+k_{AQ}=\frac{y_1+1}{x_1-0}+\frac{y_2+1}{x_2-0}$，
题目显然要求我们证斜率之和=2
$\frac{y_1+1}{x_1}+\frac{y_2+1}{x_2}=\frac{(y_1+1)x_2+x_1(y_2+1)}{x_1{x}_2}=\frac{x_2{y}_1+x_2+x_1{y}_2+x_1}{x_1{x}_2}=\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2+x_1+x_2}{x_1{x}_2}$
上式既含$x_1,x_2,\mathrm{也}\mathrm{含}{y}_1,y_2$，未知数太多，设法消去，显然消去$y_1,y_2$更容易,由于PQ两点在直线上，显然有$y_1=k{x}_1+1-k,y_2=k{x}_2+1-k$，将其代入上式即可消去$y_1,y_2$，而只含有$x_1,x_2\mathrm{及}\mathrm{斜}\mathrm{率}k$
$\frac{x_2{y}_1+x_1{y}_2+x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{x_2(k{x}_1+1-k)+x_1(k{x}_2+1-k)+(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}$
上式分子中前两项去括号合并同类项有:$2k{x}_1{x}_2+(1-k)(x_1+x_2)$故有：
$\frac{2k{x}_1{x}_2+(2-k)(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}=2k+\frac{(2-k)(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}$
这时候出现我们最熟悉的$x_1+x_2，x_1{x}_2$,好了，我们要联立直线与椭圆的方程再利用韦达定理了。
$\{\begin{array}{l}y=kx+1-k\\ x^2+2y^2-2=0\end{array}$
$x^2+2(kx+1-k{)}^2-2=0\Rightarrow x^2+2[k^2{x}^2+2k(1-k)x+(1-k{)}^2]-2=0$
$\Rightarrow (1+2k^2)x^2+4k(1-k)x+2(1-k{)}^2-2=0$
$\Rightarrow (1+2k^2)x^2+4k(1-k)x+2k(k-2)=0$
$x_1+x_2=-\frac{4k(1-k)}{1+2k^2}{x}_1{x}_2=\frac{2k(k-2)}{1+2k^2}$
$\Rightarrow \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{4k(k-1)}{1+2k^2}\cdot \frac{1+2k^2}{2k(k-2)}=\frac{2(k-1)}{k-2}$
$\therefore k_{AP}+k_{AQ}=2k+\frac{(2-k)(x_1+x_2)}{x_1{x}_2}=2k+(2-k)\frac{2(k-1)}{k-2}=2k-2(k-1)=2$
上述仅是联立方程利用韦达定理，便能得到答案，方法简单容易理解，但是计算繁杂，只要认真耐心计算，便能得到正确的答案

法二：平移+齐次化。
上法分析可知，斜率为$k_{AP}+k_{AQ}=\frac{y_1+1}{x_1}+\frac{y_2+1}{x_2}$，，如果A在坐标原点，那么斜率和计算便容易得多！即为$k_{AP}+k_{AQ}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}$其实，这是很容易做到，我们只需要将点A(0,-1)向上平移一个单位即可。这样斜率计算就变得很简单了。当然，所有的元素（点、椭圆都要相应向上平移一个单位），平移并不影响直线斜率！

$\mathrm{向}\mathrm{上}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}，\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{向}y\mathrm{轴}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{移}，\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{将}y-1\mathrm{替}\mathrm{换}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{的}y\mathrm{即}\mathrm{可}$
$\mathrm{向}\mathrm{右}\mathrm{移}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{单}\mathrm{位}，\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{向}x\mathrm{轴}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{向}\mathrm{移}，\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{将}x-1\mathrm{替}\mathrm{换}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{中}\mathrm{的}x\mathrm{即}\mathrm{可}$,
$\mathrm{左}+\mathrm{右}-$的本质上正向移=右移或上移为减，负向移=左移或下移为加。

故：A(0,-1)及(1,1)向上平移一个单位，变为A'(0,0)和(1,2)，
椭圆Ｅ：$x^2+2y^2-2$向上平移一个单位得到$x^2+2(y-1{)}^2-2=0\Rightarrow x^2+2y^2-4y=0$
经过点$(1,2)$的直线，我们要设成特殊的截距式，因为直线并不经过A的点，可以设成截距式
设过点$(1,2)$的直线方程为：$mx+ny=1$,这里$m,n$是截距的倒数。直线设成这样，目的是进行齐次化！因为此时椭圆方程有一次项$-4y$，如果一次项乘上１即$mx+ny$变成二次项，式中每一项都变成二次项了。
$x^2+2y^2-4y\cdot (mx+ny)=0\Rightarrow x^2+2y^2-4mxy-4n{y}^2=0$此式左右两边除以$x^2$,
$(2-4n)\cdot \frac{y^2}{x^2}-4m\cdot \frac{y}{x}+1=0\mathrm{换}\mathrm{元},\mathrm{令}\frac{y}{x}=t\Rightarrow (2-4n)\cdot t^2-4m\cdot t+1=0$
$t_1+t_2=\frac{4m}{2-4n}{t}_1、t_2\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{要}\mathrm{求}\mathrm{的}\mathrm{斜}\mathrm{率}\frac{y_1}{x_1}\mathrm{和}\frac{y_2}{x_2}$
千万别忘了，点(1,2)在直线上，即有$m\cdot 1+n\cdot 2=1\Rightarrow m=1-2n$
$t_1+t_2=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=2$得证。

平移加齐次化解圆锥曲线问题，主要应用于过圆锥曲线的共点的两条直线斜率之和或积，将共点上下左右平移至原点，其余元素也作相应的平移。
下面分析一下，平移后的圆锥曲线方程乘上直线截距式方程的左边，齐次化后，得到有关$x,y$的根就是直线与圆锥曲线的交点坐标。
回答这个问题前，让我们思考一下，为什么联立直线与圆锥曲线的方程，代入消元后，解得的$x_1,y_1,x_2,y_2$就是直线与圆锥曲线的交点坐标？在思考这个问题之前，你大概只是记住了联立求解得到的结果就是交点坐标，怕是没有认真思考过为什么，即使思考过，也只是用数形结合，直线与圆锥曲线的交点，交点就是使得两者同时成立，联立的意思就是同时成立。嗯嗯嗯嗯嗯嗯嗯嗯，没错，但不全对。下面我肤浅分析一下方法一的联立方程：
$\{\begin{array}{l}y=kx+1-k\mathrm{①}\\ x^2+2y^2-2=0\mathrm{②}\end{array}$我们把①式代入②，消去y,得到③式
$x^2+2(kx+1-k{)}^2-2=0\mathrm{③}$，它的本质约束！
$\mathrm{①}\mathrm{式}y=kx+1-k$，它的意义就是满足$y$受到x的约束条件$kx+1-k\mathrm{的}x\mathrm{和}y$，所代表的点在且仅在直线$y=kx+1-k$上。
$\mathrm{②}\mathrm{式}{x}^2+2y^2-2=0$它的意义也是满足$x\mathrm{和}y$约束条件$x^2=2-2y^2\mathrm{的}\mathrm{的}x\mathrm{和}y$，所代表的点在且仅在椭圆上。
将$kx+1-k$替换③中的$y,x^2+2(kx+1-k{)}^2-2=0$③,此时③式中的$x$既满足条件$kx+1-k$，也满足约束条件$x^2=2-2y^2$ ，也就是说，此时关于x的根是既在直线上，也在椭圆上，也就是两者的交点。
我们再来看一看方法二把A点$(0,-1)$向上平移一个单位后的椭圆的曲线方程：$x^2+2y^2-4y=0\mathrm{④}$，它显然只是椭圆的约束方程。
再看看我们设的特殊的截距式直线方程：$mx+ny=1\mathrm{⑤}$
它约束直线的条件是x,y满足$mx+ny=1$而不是其余值时，所代表的点仅在直线。注意理解，这里$mx+ny$是定值１,反过来说，也就是“１”不是随便的，必须满足受$mx+ny\mathrm{⑥}$约束的。
而$\mathrm{④}{x}^2+2y^2-4y=0$中$x,y$令受到椭圆条件的约束，此时它的"１"是不受其它条件约束的。当我们将④中的“１”用⑥替换后，那么④式的$x,y$就增加了约束条件了，即还要满足直线的约束。这个特殊的１,它等于mx+ny，它就是直线的约束条件。我们注入约束条件mx+ny的方法，是可以加１，减１，除以１,乘１，即便是乘１,也可以在任意地方乘$mx+ny$的，但我们只在一次项的位置乘$mx+ny$，目的是既能加上约束条件，又能完美齐次化。
我们再回头看，二元一次方程组的消元法，无论是代入消元，还是加减消元，其中的“加减”和“代入”的本质是注入约束条件，“消元”仅是求解方程和技巧和工具。换言之，我们也可以采用乘除注入约束条件的，只不过这样做你虽然可以注入约束条件，但你却没办法求出方程的根来，只有既能注入约束又能同时减少未知数的方法才能求方程的根。顺便提一下，我们高一利用“１”妙用，结合基本不等式求解最值的，其实乘以“１”的操作，也是注入约束条件。
至此，我们终于明白联立方程$\{$ 这个符号的含义，就是注入约束条件，至于采用何种消元方法，则是解题技巧问题。因而，法二也可以采用$\{$联立直线与椭圆。即
$\{\begin{array}{l}mx+ny=1\mathrm{①}\\ x^2+2y^2-4y=0\mathrm{②}\end{array}$
当然，我们这样联立方程的目的并不是为了求解只含$x\mathrm{或}\mathrm{的}y$方程的根，我们的目的是为了求解含形如$\frac{y_1}{x_1}$的根。这时候，我们必须采用的技巧出现了，它就是齐次化！说白了，这里齐次化与上面的消元都是解题技巧，只是目的不同，应用的技巧不同。
不知道，这样的表述是否有助于你们理解，齐次+平移法的逻辑原理。