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当$a>0,b>0,\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\mathrm{或}\frac{(a+b{)}^2}{4}\ge ab$当且仅当a=b时取=

1、正数a,b满足9a+b=ab,若不等式$a+b\ge -x^2+2x+18-m$对于任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是($$)
证明不等式，通常要用“和定积最大值，积定和最小值”，题目中的不等式左边是两数和，即要根据积定求两数和之最小值。
题目中隐藏了等于1的式子，即两边除以ab，有$\frac{9}{b}+\frac{1}{a}=1$，此时，将等于1的式子乘以不等式的左边，就可以得到含有字母互为倒数的式子，即式子部分积为定值。
$(a+b)\cdot (\frac{9}{b}+\frac{1}{a})=\frac{9a}{b}+\frac{b}{a}+10$此式因为有“积定”，显然有最小值。题目中若不等式对于任意实数x 恒数，翻译成人话：就是边的"最小值"都比右边的"最大值"要大
$(a+b{)}_{min}\ge (-x^2+2x+18-m{)}_{max}$
$(a+b)\cdot (\frac{9}{b}+\frac{1}{a})=\frac{9a}{b}+\frac{b}{a}+10\ge 2\sqrt{\frac{9a}{b}\frac{b}{a}}+10=16\Rightarrow a+b\ge 16$,可得左边的最小值为16
$16\ge (-x^2+2x+18-m{)}_{max}$等价于$m\ge (-x^2+2x+18-16{)}_{max}$
因而，实数m的取值范围，通过参数分离的方法，顺利转化二次函数的最值问题。
$y=-x^2+2x-1+3=-(x-1{)}^2+3$配方容易得到最大值为3，因而$m\in [3,+\mathrm{\infty })$

函数题目：若$f(x-1)=x^2-2x-3\mathrm{求}f(x+1)=$

$f(\underset{―}{x}-1)={\underset{―}{x}}^2-2\underset{―}{x}-3\mathrm{那}\mathrm{么}f(\underset{―}{\otimes }-1)={\underset{―}{\otimes }}^2-2\underset{―}{\otimes }-3$
令$\oplus =x+2，\mathrm{则}x+1=\oplus -1,\mathrm{则}f(x+1)=f(\underset{―}{\oplus }-1)={\underset{―}{\otimes }}^2-2\underset{―}{\otimes }-3={\underset{―}{(x+2)}}^2-2\underset{―}{(x+2)}-3$
$\therefore f(x+1)=x^2+2x-3$