柯西不等式 – 永坤数学

柯西不等式：

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots a_{n}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots b_{n}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots a_{n} b_{n})^{2}$

等号成立条件 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

记：方和积 $\geq$ 积和方

常用它的二维和三维形式：

三维形式：

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3})^{2}$

等号成立条件 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}$

二维形式：

$(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2}$

$等号成立条件 \frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$

证明方法１：构造抛物线函数，利用抛物线与横轴至多只有一个交点，判别式小于等于零。 $f (x) = (a_{1} x + b_{1})^{2} + (a_{2} x + b_{2})^{2} ，显然抛物线 f (x) \geq 0, (a_{1}^{2} x^{2} + 2 a_{1} b_{1} x + b_{1}^{2}) + (a_{2}^{2} x^{2} + 2 a_{2} b_{2} x + b_{2}^{2}) = 0$ 只有唯一解 $即 Δ = (2 a_{1} b_{1} + 2 a_{2} b_{2})^{2} - 4 (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) \leq 0 \Rightarrow (a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) \geq (a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2}$ ，显然， $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}}$ 时取=

方法2，用数量积进行证明。必修2课本33页，数量积两向量的夹角公式，两边平方即可证得

权方和不等式

对柯西不等式变形，易得 $(\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y}) (x + y) \geq (a^{2} + b^{2}) 在 a, b, x, y > 0$ 时，就有了 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{a^{2} + b^{2}}{x + y}$ ，当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时，等号成立。

同理： $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} + \frac{c^{2}}{y} \geq \frac{(a + b + c)^{2}}{x + y + z}, 当 \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}$ 时取等号。

若 $a_{i} > 0, b_{i} > 0, m > 0, 则 \frac{a_{1}^{m + 1}}{b_{1}^{m}} + \frac{a_{2}^{m + 1}}{b_{2}^{m}} + \dots + \frac{a_{n}^{m + 1}}{b_{n}^{m}} \geq \frac{(a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n})^{m + 1}}{(b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n})^{m}}$

当且仅当 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \dots = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ,等号成立，m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母多一次。关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为 $\frac{3}{2} 次，分母为 \frac{1}{2}$ 次。

1、2018年江苏高考题：若 $x, y, z$ 为实数，且 $x + 2 y + 2 z = 6, 求 x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值。

要求的是“方和积”的一部分“方和”，放在左边，已知的是“积和”（平方即有“积和方”），放在公式右边。 $(x^{2} + y^{2} + z^{2}) () \geq (x + 2 y + 2 z)^{2}$ 此时只需要根据公式拼凑另一半“方和”即可进行，方和积了。

$(x^{2} + y^{2} + z^{2}) (1^{1} + 2^{2} + 2^{2}) \geq (1 \cdot x + 2 \cdot y + 2 \cdot z)^{2}$

$9 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 6^{2} \Rightarrow (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 4$

当且仅当 $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} 即 x = \frac{2}{3}, y = z = \frac{4}{3}$ 时取等号．

2、2014年浙江　实数 $a, b, c 满足 a + b + c = 0, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1, 则 a$ 的是最大值是＿＿

$b + c = - a, b^{2} + c^{2} = - a^{2}$

$∵ (b^{2} + c^{2}) (1^{2} + 1^{2}) \geq (b + c)^{2}$

$∴ 2 (1 - a^{2}) \geq a^{2} 解得，－ \frac{\sqrt{6}}{3} \leq a \leq \frac{\sqrt{6}}{3}$

$∴ a$ 的是最大值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，当且仅当 $\frac{b}{1} = \frac{c}{1}, 即 b = c 时等号成立。$

【高中数学进阶】柯西不等式及变式使用技巧！|思维提升_哔哩哔哩_bilibili

例3、2018年福建竞赛预赛；已知 $a, b, c \in R, 且 3 a^{2} + 3 b^{2} + 4 c^{2} = 60, 求 a + b + c$ 的最大值。

解： $(3 a^{2} + 3 b^{2} + 4 c^{2}) (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) \geq (a + b + c)^{2}$

例4、已知实数 $a, b, c, d 满足 a + b + c + d = 3, a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2} + 6 d^{2} = 5$ ,则a的取值范围是( $[1, 2]$ )

解： $b + c + d = 3 - a, 2 b^{2} + 3 c^{2} + 6 d^{2} = 5 - a^{2},$ 柯西不等式 $\Rightarrow (2 b^{2} + 3 c^{2} + 6 d^{2}) () \geq (b + c + d)^{2}$

再等量代换。 $(5 - a^{2}) \times 1 \geq (3 - a)^{2} \Rightarrow a^{2} - 3 a + 2 \leq 0 \Rightarrow 1 \leq a \leq 2$ 大题还要讨论取=条件。

解题提示：平衡掉 $3 a^{2} + 3 b^{2} + 4 c^{2}$ 中的系数用柯西不等式，得到 $a + b + c$

例5、2022年南京大学强基试题3
已知 $x, y, z 满足 x + y + z = 1, 则 x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2}$ 的最小值_____

例6、已知 $a > 1, b > 1, 求 \frac{b^{2}}{a - 1} + \frac{a^{2}}{b - 1}$ 的最小值。(用权方和不等式）

解： $\frac{b^{2}}{a - 1} + \frac{a^{2}}{b - 1} \geq \frac{(a + b)^{2}}{a - 1 + b - 1}$ ，再用 $t = a + b - 2$ 换元求 $\frac{(a + b)^{2}}{a - 1 + b - 1}$ 的最小值。 $\frac{(t + 2)^{2}}{t} = t + 4 + \frac{4}{t} \geq 2 \sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} + 4 = 8$

例7、 $a, b, c \in R^{+}, 证明 : a^{5} + b^{5} + c^{5} \geq a^{3} b c + b^{3} a c + c^{3} a b$

$a^{5} + b^{5} + c^{5} \geq a^{3} b c + b^{3} a c + c^{3} a b = a b c (a^{2} + b^{2} + c^{2})$

$\frac{a^{5} + b^{5} + c^{5}}{a b c} = \frac{a^{4}}{b c} + \frac{b^{4}}{a c} + \frac{c^{4}}{a b} \geq (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ $\frac{a^{4}}{b c} + \frac{b^{4}}{a c} + \frac{c^{4}}{a b} \geq \frac{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}{b c + a c + a b}$ $b c + a c + a b \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

例8:求函数 $f (x) = \frac{3}{2 \sin^{2} x + 1} + \frac{8}{3 \cos^{2} x + 2} (x \in R)$ 的最小值。

函数 $f (x) = \frac{3}{2 \sin^{2} x + 1} + \frac{8}{3 \cos^{2} x + 2} = \frac{3^{2}}{6 \sin^{2} x + 3} + \frac{4^{2}}{6 \cos^{2} x + 4} \geq \frac{(3 + 4)^{2}}{13}$

例9、已知正实数 $x, y 满足 \frac{8}{x} + \frac{1}{y} = 1, 则 \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最小值。

解一： $\frac{8}{x} + \frac{1}{y} = \frac{4^{\frac{3}{2}}}{(x^{2})^{\frac{1}{2}}} + \frac{1^{\frac{3}{2}}}{(y^{2})^{\frac{1}{2}}} \geq \frac{(4 + 1)^{\frac{3}{2}}}{(x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}}}$

$\Rightarrow (x^{2} + y^{2})^{\frac{1}{2}} \geq 5 \sqrt{5}$ ;当且仅当 $\frac{4}{x^{2}} ＝ \frac{1}{y^{2}}$ 取＝

法二：由柯西不等式得： $\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{\frac{(4 + 1) (x^{x} + y^{2})}{5}} \geq \sqrt{\frac{(2 x + y)^{2}}{5}} = \frac{2 x + y}{\sqrt{5}}$

又 $(2 x + y) (\frac{8}{x} + \frac{1}{y}) \geq 25 \Rightarrow \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq \frac{2 x + y}{\sqrt{5}} \geq 5 \sqrt{5}$ ,当且仅当 $x = 2 y = 10 时取＝$

例10、求函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 7} + \sqrt{12 - x} + \sqrt{44 - x}$ 的最大值。

由柯西不等式得：

$(\sqrt{2 x - 7} + \sqrt{12 - x} + \sqrt{44 - x})^{2} ＝ (\sqrt{3} \sqrt{\frac{2 x - 7}{3}} + \sqrt{2} \sqrt{\frac{12 - x}{2}} + \sqrt{6} \sqrt{\frac{44 - x}{6}})^{2} \leq (3 + 2 + 6) (\frac{2 x - 7}{3} + \frac{12 - x}{2} + \frac{44 - x}{6}) = 121$

当且仅当 $\frac{3}{\frac{2 x - 7}{3}} = \frac{2}{\frac{12 - x}{2}} = \frac{6}{\frac{44 - x}{6}} 即 x = 8 时＝$ 成立。

典型题12、若 $f (x) 是奇函数，当 x > 0, f (x) = x^{2} - 4 x$ ,求 $f (x) > x$ 的解
显然 $f (x)$ 是分段函数，故先根据奇函数的定义求 $f (x) 在 x < 0$ 的表达式
$因为 f (x) 是奇函数，故有 - f (- x) = f (x) ，设 x < 0, \Rightarrow - x > 0$
$- x$ 才可以代入给定的解析式，因为给定的解析仅在正数时成立。 $f (- x) = (- x)^{2} - (- 4 x) = x^{2} + 4 x =$
$- f (x) \Rightarrow f (x) = - x^{2} - 4 x$

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} - 4 x & x > 0 \\ - x^{2} - 4 x & x < 0 \end{cases}$

$当 x > 0 时 x^{2} - 4 x > x$
解此不等式，两边除以正数 $x 得 x > 5$
当 $x < 0 时， - x^{2} - 4 x > x$
解此不等式，两边除以正数 $- x, 得 x + 4 > - 1, 即 x > - 5$

综上述 $f (x) > x$ 的解集为 $x > 5, - 5 < x < 0$