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圆面积的四种算法帮你理解微积分

杨式辉AP微积分

1、$x^2+y^2=R^2$

$\Rightarrow y=\sqrt{R^2-x^2}$

$S=2\underset{-R}{\overset{R}{\int }}\sqrt{R^2-x^2}\mathrm{d}x$=$2\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$=

2、微分成无数的薄圆环

薄圆环$\mathrm{d}S=2\pi r\mathrm{d}r\Rightarrow$ S=$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\mathrm{d}s=\underset{0}{\overset{R}{\int }}2\pi r\mathrm{d}r=\pi R^2$

3、极坐标（无穷小的$\mathrm{小}\mathrm{方}\mathrm{块}\Rightarrow \mathrm{薄}\mathrm{圆}\mathrm{环}$）

$(r,\theta ),\mathrm{d}\theta =\frac{\mathrm{d}l}{r}$

$\mathrm{d}{S}_{◻}=\mathrm{d}r\mathrm{d}l=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$

$\mathrm{小}\mathrm{方}\mathrm{块}\Rightarrow \mathrm{薄}\mathrm{圆}\mathrm{环}\mathrm{d}{S}_{\circ }$

$\mathrm{d}{S}_{\odot }=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$= $r\mathrm{d}r\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta$=$2\pi r\mathrm{d}r\stackrel{\mathrm{沿}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{积}\mathrm{分}}{⟹}$ $S=\int \mathrm{d}{S}_{\odot }$=$\underset{0}{\overset{R}{\int }}2\pi r\mathrm{d}r$

4、极坐标（无穷小的$\mathrm{小}\mathrm{方}\mathrm{块}\Rightarrow \mathrm{无}\mathrm{限}\mathrm{小}\mathrm{的}\mathrm{小}\mathrm{扇}\mathrm{形}$）

$\mathrm{d}{S}_{▽}$=$\underset{0}{\overset{R}{\int }}\mathrm{d}{S}_{◻}$ = $\underset{0}{\overset{R}{\int }}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ =$\frac{1}{2}{R}^2\mathrm{d}\theta$

S=$\int \mathrm{d}{S}_{▽}$=$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{1}{2}{R}^2\mathrm{d}\theta$=$\pi R^2$

通过上面四个例子，可以告诉我们，定积分不应该理解为导数的逆运算在边界处的取值之差，应该理解成函数与一个无穷小量的乘积，然后将无限多个这样的无穷小的乘积进行求和，是这样的一个过程。而牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，这一求和的结果恰好是等于导数的逆运算在这个求和边界处的取值之差。

把微积分学成了刷题背公式？巧算高斯积分帮你理解微积分

高斯积分：$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$高斯分布:$f(x)={\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}}^{}{e}^{-\frac{1}{2}（\frac{x-\mu }{\sigma }{）}^2}$

来一个 小小的trick(技巧)：

$I=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$

$I^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\mathrm{d}x\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-y^2}\mathrm{d}y$=$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\iint }}{e}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\stackrel{\mathrm{换}\mathrm{极}\mathrm{坐}\mathrm{标}}{\to }$=${\int }_0^{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ $=\pi {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-r^2}d(-r^2)$=$\pi \cdot e^{-r^2}{|}_0^{\mathrm{\infty }}=\pi$
$\Rightarrow I=\sqrt{\pi }$