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**分四步，一、设点设直线，二、联立用韦达，三、三点共线用斜率关系列等式，四、根据极点刻意去配凑

用极点三角，计算出过n=1,配凑（n-1）的因式

拾之九八
例一：北京卷:已知椭圆$C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$,与y轴的交点为A,B点A位于B的上方），直线 $y=kx+4$与曲线C交于不同的两点$M,N,\mathrm{连}\mathrm{接}AM,BN\mathrm{交}\mathrm{于}\mathrm{点}G$，求证:点$G$纵坐标为定值。
预判：(0,4)点的极线为 $\frac{0\cdot x}{8}+\frac{4y}{4}=1\Rightarrow y=1G\mathrm{点}\mathrm{在}\mathrm{此}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{上}$

一、设点、设直线：
设三点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),G(m,n),A(0,2),B(0,-2)\mathrm{直}\mathrm{线}{l}_{MN}:y=kx+4$
二、联立方程写韦达；
$\{\begin{array}{l}y=kx+4\\ x^2+2y^2-8=0\end{array}\Rightarrow 2(kx+4{)}^2+x^2-8=0\Rightarrow (2k^2+1)x^2+16kx+24=0$
$x_1+x_2=\frac{-16k}{2k^2+1}{x}_1{x}_2=\frac{24}{2k^2+1}$
三、三点共线用斜率列等式，
MBG三点共线：$\frac{y_1+2}{x_1}=\frac{n+2}{m}(1)$
NAG三点共线：$\frac{y_2-2}{x_2}=\frac{n-2}{m}(2)$
两式相除，得：$\frac{y_1+2}{x_1}\cdot \frac{x_2}{y_2-2}=\frac{n+2}{n-2}$
四、交叉相乘再按需要配凑n-1：
$(n+2)x_1(y_2-2)=(n-2)x_2(y_1+2)\Rightarrow (n+2)x_1(k{x}_2+2)=(n-2)x_2(k{x}_1+6)$
$\Rightarrow (n+2)k{x}_1{x}_2+2(n+2)x_1=(n-2)k{x}_2{x}_1+6(n-2)x_2$
$\Rightarrow 4k{x}_1{x}_2+2(n-1+3)x_1-6(n-1-1)x_2=0$
$\Rightarrow 2k{x}_1{x}_2+(n-1)(x_1-3x_2)+3(x_1+x_2)=0$
$\Rightarrow 2k\cdot \frac{24}{2k^2+1}+(n-1)(x_1-3x_2)+3\cdot \frac{-16k}{2k^2+1}=0\Rightarrow (n-1)(x_1-3x_2)=0$
$\Rightarrow n=1$ G点定直线$y=1$上

例2：江苏卷例题：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$左右顶点为A,B,设过点$T(t,m)$的直线$TA,TB$与椭圆分别交于$m(x_1,y_1),N(x_2,y_2),\mathrm{其}\mathrm{中}m>0,y_1>0,y_2<0.\mathrm{设}t=9,\mathrm{求}\mathrm{证}\mathrm{直}\mathrm{线}MN\mathrm{必}\mathrm{过}x\mathrm{轴}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{点}。$

定点G(n,0)的极线为$x=9,\frac{nx}{9}+\frac{0\cdot y}{5}=1\iff x=9\Rightarrow n=1\mathrm{刻}\mathrm{意}\mathrm{构}\mathrm{造}n-1$
一、设点设直线：
设$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),\mathrm{设}\mathrm{直}\mathrm{线}MN\mathrm{过}\cancel{\mathrm{定}\mathrm{点}}\mathrm{点}G(n,0),l_{MN}=ty+nA(-3,0),B(3,)$·
二、联立方程
$\{\begin{array}{l}x=ty+n\\ 5x^2+9y^2-5\times 9=0\end{array}\Rightarrow 5(ty+n{)}^2+9y^2-5\times 9=0$

$\Rightarrow (5t^2+9)y^2+10nt\cdot y+5\times (n^2-9)=0$
$y_1+y_2=\frac{-10nt}{5t^2+9}{y}_1{y}_2=\frac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
三、三点共线斜率有等式
$k_{AM}=\frac{y_1}{x_1+3}=\frac{m}{12}=k_{TA}(1)$
$k_{BN}=\frac{y_2}{x_2-3}=\frac{m}{6}=k_{TB}(2)$
两式相除，得：$\frac{y_1}{x_1+3}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=\frac{1}{2}\ast$
$y_2(x_1+3)=2y_1(x_2-3）\Rightarrow x_{1}y2+3y_2=2x_2{y}_1-6y_1$

第四步：刻意构造(n-1)的因式分解式
从上式可以看出，消去x比消y简单一些。
$\Rightarrow (t{y}_1+n)y_2+3y_2=2(t{y}_2+n)y_1-6y_1$
$\Rightarrow t{y}_1{y}_2+2(n-3)y_1-(n+3)y_2=0$
$\Rightarrow t{y}_1{y}_2+2(n-1-2)y_1-(n-1+4)y_2=0$
$t{y}_1{y}_2+(n-1)(2y_1-y_2)-4(y_1+y_2)=0$
$\Rightarrow t\cdot \frac{5(n^2-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)-4\cdot \frac{-10nt}{5t^2+9}=0$
$\Rightarrow \frac{5t(n^2+8n-9)}{5t^2+9}+(n-1)(2y_1-y_2)=0$
$\Rightarrow (n-1)\cdot [\frac{5t(n+9)}{5t^2+9}+(2y_1-y_2)]=0$
$\Rightarrow n-1=0\therefore$n=1,直线过定点G(1,0)
对第四步的处理还有以下两种方法：

法二、
$\mathrm{利}\mathrm{用}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{对}\mathrm{非}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{韦}\mathrm{达}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{处}\mathrm{理}$
$\frac{y_1}{x_1+3}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=\frac{1}{2}$
$k_{AM}\cdot k_{BM}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{5}{9}$
$k_{AM}=\frac{y_1}{x_1+3}=-\frac{5}{9}\cdot \frac{1}{k_{BM}}=-\frac{5}{9}\cdot \frac{x_1-3}{y_1}$
$\frac{y_1}{x_1+3}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=-\frac{5}{9}\cdot \frac{x_1-3}{y_1}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=\frac{1}{2}$
$\frac{x_1-3}{y_1}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=\frac{x_1{x}_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1{y}_2}$
$x_1{x}_2=(t{y}_1+n)(t{y}_2+n)=t^2{y}_1{y}_2+nt(y_1+y_2)+n^2$
$-3(x_1+x_2)=-3(t{y}_1+n+n{y}_2+n)=-3t(y_1+y_2)-6n$
$\mathrm{分}\mathrm{子}=t^2{y}_1{y}_2+t(n-3)(y_1+y_2)+n^2-6n+9$
$\frac{x_1{x}_2-3(x_1+x_2)+9}{y_1{y}_2}=\frac{t^2{y}_1{y}_2+t(n-3)(y_1+y_2)+(n-3{)}^2}{y_1{y}_2}$
$=\frac{t^2\cdot 5(n^2-9)+t(n-3)(-10nt)+(n-3{)}^2(5t^2+9)}{5(n^2-9)}$
$\because y_1+y_2=\frac{-10nt}{5t^2+9}{y}_1{y}_2=\frac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
$\frac{5n^2{t}^2-5\cdot 9t^2-10n^2{t}^2+30n{t}^2+5n^2{t}^2-30n{t}^2+9\cdot 5t^2+9(n-3{)}^2}{5(n^2-9)}$
$=\frac{9(n-3{)}^2}{5(n+3)（n-3)}=-\frac{9}{5}\cdot \frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{n-3}{n+3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow n=1$

法三、韦达定理的和积互化处理非对称韦达定理。
$\frac{y_1}{x_1+3}\cdot \frac{x_2-3}{y_2}=\frac{1}{2}=$
$\frac{y_1(t{y}_2+n-3)}{y_2(t{y}_1+n+3)}=\frac{t{y}_1{y}_2+(n-3)y_1}{t{y}_1{y}_2+(n+3)y_2}$
$\because y_1+y_2=\frac{-10nt}{5t^2+9}{y}_1{y}_2=\frac{5(n^2-9)}{5t^2+9}$
令$y_1{y}_2=\lambda \cdot (y_1+y_2)\Rightarrow \lambda =\frac{n^2-9}{-2nt}$
$\frac{t{y}_1{y}_2+(n-3)y_1}{t{y}_1{y}_2+(n+3)y_2}=\frac{t\cdot \frac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n-3)y_1}{t\cdot \frac{n^2-9}{-2nt}(y_1+y_2)+(n+3)y_2}$
=$\frac{(n^2-9)\cdot (y_1+y_2)-2n(n-3)y_1}{(n^2-9)(y_1+y_2)-2n(n+3)y_2}=\frac{(n-3)\cdot [(n+3)(y_1+y_2)-2n{y}_1]}{(n+3)\cdot [(n-3)(y_1+y_2)-2n{y}_2]}$
$=\frac{(n-3)\cdot [y_1(3-n)+y_2(n+3)]}{(n+3)\cdot [y_1(n-3)-y_2(n+3)]}=-\frac{n-3}{n+3}=\frac{1}{2}$
$\therefore n=1$