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例１、已知函数$f(x)=x{e}^{-x}.$

(1)求函数 $f(x)$的单调性和极值。（2）若$x_1\ne x_2,\mathrm{且}f(x_1)=f(x_2),\mathrm{证}\mathrm{明}{x}_1+x_2>2$

(1)解：$f(x)=\frac{x}{e^x}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1-x}{e^x}$令$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1,\mathrm{当}x\in (-\mathrm{\infty },1),f^{\prime }(x)>0,f(x)$递增，

当$x\in (1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)$递减；
极大值$f(x{)}_{max}=f(1)=\frac{1}{e};\because f(0)=0,\mathrm{得}\mathrm{到}\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{点}\mathrm{坐}\mathrm{标}(0,0)$

证明书写过程

(2)不妨设$x_1<1<x_2$欲证：$x_1+x_2>2,$即证$x_1>2-x_2,x_1>2-x_2$等价于$f(x_1)>f(2-x_2)$,

由于$f(x_1)=f(x_2)$，因此进一步等价于$f(x_2)>f(2-x_2)$

于是转化为证明$f(x_2)>f(2-x_2)$，其中$x_2\in (1,\mathrm{\infty })$

构造$g(x)=f(x)-f(2-x)=\frac{x}{e^x}-\frac{2-x}{e^{2-x}},$

即证$g(x)>0\mathrm{在}(1,+\mathrm{\infty })$恒成立

则：$g^{\prime }(x)=(x-1)(e^{x-2}-e^{-x})>0$在$(1,+\mathrm{\infty })$在上恒成立。于是$g(x)$在$(1,+\mathrm{\infty })$上递增

当$x>1$时$g(x)>g(1)=f(1)-f(1)=0$,命题得证。

例２、已知函数$f(x)=\frac{1-x}{1+x^2}{e}^x$.

(1)求函数$f(x)$的单调性；

(2)证明明：当$f(x_1)=f(x_2)\mathrm{时},x_1+x_2<0$

例３、已知函数$f(x)=x(1-\ln x)$.(1)讨论$f(x)$的单调性;

(2)设 $a,b\mathrm{为}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{数},\mathrm{且}b\ln a-a\ln b=a-b,\mathrm{证}\mathrm{明}:2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

例4、已知函数$f(x)=e^x-ax$有两个零点，$x_1<x_2,\mathrm{求}\mathrm{证}:x_1+x_2<2\ln a$

例5、已知函数$f(x)=\frac{\ln x}{x},\mathrm{如}\mathrm{果}{x}_1\ne x_2,\mathrm{且}f(x_1)=f(x_2),\mathrm{证}\mathrm{明}：x_1{x}_2>e^2$

例6、已知函数$f(x)=\ln x-ax\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{零}\mathrm{点}{x}_1，x_2,\mathrm{证}\mathrm{明}：x_1{x}_2>e^2$

2022年全国甲卷理21题目：

已知函数$f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a$

(1)若$f(x)\ge 0，\mathrm{求}a\mathrm{的}\mathrm{取}\mathrm{值}\mathrm{范}\mathrm{围}$

(2)证明：$\mathrm{若}f(x)\mathrm{有}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{等}\mathrm{零}\mathrm{点}{x}_1,x_2,\mathrm{则}{x}_1{x}_2<1$

解题三步走:

一、确定$x_1,x_2$的范围和特殊点坐标,画草图

二、结合原函数等价转化,

三、双元转一元,构造新函数证明之