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同为周期，异为对称

一、周期性结论（同为周期）：括号内x的系数相同

1. $f(x+a)=f(x)\iff T=a$
2. $f(x+a)=f(b+x)\iff T=a-b$
3. $f(x+a)=-f(x)\iff T=2a$
4. $f(x+a)=\frac{c}{f(x)}\iff T=2a$
5. $f(a+x)=\frac{1-f(x)}{1+f(x)}\iff T=2a$
6. ==$f(a+x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\iff T=4a$==
7. $f(a+x)=\frac{1}{1-f(x)}\iff T=3a$
8. $f(a+x)=-\frac{1}{1+f(x)}\iff T=3a$
9. $f(a+x)=f(x)-f(x-a)\iff T=6a$
   证明：（7）$f(a+x)=\frac{1}{1-f(x)}\iff T=3a$
   证：$\because f(a+x)=\frac{1}{1-f(x)}$
   $\therefore f(x+2a)=\frac{1}{1-f(a+x)}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-f(x)}}=\frac{1}{1-\frac{1}{1-f(x)}}=\frac{1}{\frac{1-f(x)}{1-f(x)}-\frac{1}{1-f(x)}}=\frac{1-f(x)}{-f(x)}=1-\frac{1}{f(x)}$
   $\therefore f(3a+x)=f(a+2a+x)=\frac{1}{-f(2a+x)+1}=\frac{1}{-(1-\frac{1}{f(x)})+1}=f(x)$
   $\therefore T=3a$
   证明：（9）$f(a+x)=f(x)-f(x-a)\iff T=6a$
   $\because f(a+x)=f(x)-f(x-a)$$\therefore f(2a+x)=f(a+x)-f(x)=f(x)-f(x-a)-f(x)=-f(x-a)$$\therefore f(3a+x)=f(a+x)-f(x)=f(x)-f(x-a)-f(x)=-f(x)$
   由(3)得，T=6a

二、对称性结论：异指括号内的x的系数互为相反数

对称性分为：轴对称和中心对称
（一）外同为轴对称，＝号两边的$f(x_1)\mathrm{和}f(x_2)$的系数相同。
已知f(x)是定义在R上的函数。

1. $f(a+x)=f(a-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=a$
2. $f(2a+x)=f(-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=a$
3. $f(x)=f(2a-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=a$
4. $f(a+x)=f(b-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{轴}\mathrm{为}x=\frac{a+b}{2}$
5. 特别地a=b=0时，表示偶函数。
   （二）中心对称结论，（内异，外反）
6. $f(a+x)=－f(a-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(a,0)$
7. $f(2a+x)=-f(-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(a,0)$
8. $f(x)=-f(2a-x)\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(a,0)$
9. $f(a+x)+f(b-x)=c\iff \mathrm{函}\mathrm{数}y=f(x)\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{为}(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$
10. 特别地a=b=0时，表示偶函数。

三、双对称出周期：

1. 函数f(x)有两个对称轴x=a和x=b,则T=2(a-b)

2. 函数f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0),则T=2(a-b)

3. 函数f(x)有一个对称轴(a,0)和一个对称轴x=b,则T=4(a-b)
   例题：
   1、已知定义在R的函数$f(x)\mathrm{满}\mathrm{足}：f(-x)+f(x)=0,f(2-x)=f(x),$且$f(x)\mathrm{在}(-1,1)$内单调递增，则（　）B
   $A.f(-5.3)<f(5.5)<f(2)B.f(-5.3)<f(2)<f(5.5)C.f(2)<f(-5.3)<f(5.5)$ D.$f(5.5)<f(2)<f(-5.3)$
   2、$\mathrm{对}\mathrm{\forall }x\in R,\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{满}\mathrm{足}f(1-x)=f(x+1),f(x+4)+f(-x)=0,$当$0<x\le 1$時$f(x)=1-x^2.$設$a=f(\frac{1}{2}),b=f(\frac{5}{3}),c=f(\frac{2023}{4}),\mathrm{比}\mathrm{較}a,b,c\mathrm{的}\mathrm{大}\mathrm{小}$
   3、已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+3)=-f(x),且当$x\in (0,\frac{3}{2}]$时,$f(x)=x^2-6x+8,\mathrm{则}f(0)+f(1)+f(2)+\cdots +f(100)=()$
   A.6 ,B.3, C.0, D.-3 B
   4、已知f(x)定义在R上函数,f(x+1)为偶函数，f(x+2)为奇函数,且满足f(1)+f(2)=2,则$\sum _{i=1}^{2023}f(k)=()$​

A.-2023 ,B.0, C.2, D.2023 B

5、若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为偶函数，f(x+1)关于(2,0)成中心对称，则函数f(x)的一条对称轴为($$​​)

A. x=2023 B.x=2022 C.x=2021 D.x=2020 C

6、若函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，记函数$g(x)=2f(2x+1)+1$,,则$\sum _{i=1}^{31}g(\frac{k}{2})=()$

A. 25 B.27 C.29 D.31 D

7、