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记椭圆的焦点三角形$P{F}_1{F}_2,\mathrm{记}\mathrm{△}P{F}_1{F}_2\mathrm{内}\mathrm{切}\mathrm{圆}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{和}\mathrm{外}\mathrm{接}\mathrm{圆}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{分}\mathrm{另}\mathrm{为}{S}_1,S_2,\mathrm{若}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{为}4$
$,\mathrm{则}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{离}\mathrm{心}\mathrm{率}\mathrm{为}()$
$A.\frac{1}{2}B.\frac{\sqrt{2}}{2}C.\frac{1}{3}D.\frac{\sqrt{3}}{3}$
设外接圆半径为$R，\mathrm{内}\mathrm{切}\mathrm{圆}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{为}r,\mathrm{则}\frac{S_2}{S_1}=\frac{R^2}{r^2}=4\Rightarrow (\frac{R}{r}{)}_{min}=2$
$\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{正}\mathrm{弦}\mathrm{定}\mathrm{理}\mathrm{有}\frac{2c}{\sin P}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{\sin P};$
$\mathrm{易}\mathrm{推}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{与}\mathrm{内}\mathrm{切}\mathrm{圆}\mathrm{半}\mathrm{径}\mathrm{关}\mathrm{系}\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{公}\mathrm{式}：S_{\mathrm{△}P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{周}\mathrm{长}\times \mathrm{内}\mathrm{切}\mathrm{圆}\mathrm{半}\mathrm{径}=\frac{1}{2}(2a+2c)r$
$\mathrm{由}\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{公}\mathrm{式}：S_{\mathrm{△}P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{P}{2}=\frac{1}{2}(2a+2c)r$
$\Rightarrow r=\frac{b^2\tan \frac{P}{2}}{a+c}\Rightarrow \frac{R}{r}=\frac{\frac{c}{\sin P}}{\frac{b^2\tan \frac{P}{2}}{a+c}}=\frac{c(a+c)}{\sin P{b}^2\tan \frac{P}{2}}=\frac{c(a+c)}{2b^2{\sin }^2\frac{P}{2}}$
$\frac{R}{r}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{值}，\mathrm{即}{\sin }^2\frac{P}{2}\mathrm{有}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值},\mathrm{焦}\mathrm{点}\mathrm{三}\mathrm{角}\mathrm{形}\mathrm{的}\mathrm{的}\mathrm{顶}\mathrm{点}\mathrm{在}\mathrm{短}\mathrm{轴}\mathrm{顶}\mathrm{点}\mathrm{上}，\mathrm{顶}\mathrm{角}\mathrm{有}\mathrm{为}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}。$
$(\sin \frac{P}{2}{)}_{max}=e\Rightarrow \frac{c(a+c)}{2b^2{e}^2}=2\Rightarrow \frac{ac+c^2}{(a^2-c^2)e^2}=4\Rightarrow \frac{e+e^2}{1-e^2}=4e^2\Rightarrow \frac{1+e}{1-e^2}=4e$
$4e(1-e)=1\Rightarrow \Rightarrow 4e^2-4e+1=0\Rightarrow e=\frac{1}{2}$