仿射变换

$\mathrm{性}\mathrm{质}\{\begin{array}{l}\mathrm{仿}\mathrm{射}\mathrm{不}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{性}\mathrm{质}\{\begin{array}{l}(1)\mathrm{保}\mathrm{共}\mathrm{线}\mathrm{性}：\mathrm{若}A,B,C\mathrm{三}\mathrm{点}\mathrm{共}\mathrm{线}，\mathrm{则}f(A),f(B),f(C)\mathrm{也}\mathrm{三}\mathrm{点}\mathrm{共}\mathrm{线}。\\ (2)\mathrm{保}\mathrm{平}\mathrm{行}：\mathrm{若}\mathrm{直}\mathrm{线}AB\mathrm{和}\mathrm{直}\mathrm{线}CD\mathrm{平}\mathrm{行}，\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{直}\mathrm{线}f(A)f(B)\mathrm{也}\mathrm{和}\mathrm{直}\mathrm{线}f(C)f(D)\mathrm{平}\mathrm{行}。\\ (3)\mathrm{保}\mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{不}\mathrm{变}：\mathrm{若}\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{BC},\mathrm{则}\overrightarrow{f(A)f(B)}=\lambda \overrightarrow{f(B)f(C)}\end{array}\\ \mathrm{面}\mathrm{积}：\mathrm{成}\mathrm{比}\mathrm{例}\mathrm{放}\mathrm{缩}(\mathrm{祖}\mathrm{暅}\mathrm{原}\mathrm{理})\end{array}$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$\mathrm{令}\{\begin{array}{l}x{}^{\prime }=\frac{b}{a}x\\ y^{{}^{\prime }}=y\end{array}\Rightarrow$

$\frac{x^{{}^{\prime }2}}{a^2}+\frac{y^{{}^{\prime }2}}{b^2}=b^2$

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仿射为圆

仿射为半径为$a$的圆（冯杰）推荐此法！

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$

$a>b$,横坐标不变，只对y轴进行变换，令$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\\ y^{\prime }=\frac{a}{b}y\end{array}\Rightarrow$ 将椭圆变成圆$ 椭圆\to 圆(r=a):\times \frac{b}{a} $\mathrm{的}\mathrm{圆}，\mathrm{在}\mathrm{圆}\mathrm{中}\mathrm{进}\mathrm{行}\mathrm{分}\mathrm{析}，\mathrm{再}\mathrm{转}\mathrm{变}\mathrm{为}\mathrm{椭}\mathrm{圆}$圆\to 椭圆:\times \cfrac{a}{b} $

$x^{{}^{\prime }2}+y^{{}^{\prime }2}=a^2$

五变：(不带${\color{Red}’ } $\mathrm{是}\mathrm{椭}\mathrm{圆}，\mathrm{带}${\color{Red}’是圆 }$ )

1、定点：$P(x_0,y_0)\Rightarrow P^{\prime }(x_0,\frac{a}{b}{y}_0)$

2、椭圆变圆，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^{\prime 2}}{a^2}+\frac{y^{\prime 2}}{a^2}=1【y^{\prime }=\frac{a}{b}y】$

3、斜率：$k\to k{}^{\prime }\Rightarrow k{}^{\prime }=\frac{a}{b}k【k^{\prime }=\frac{y{}^{\prime }}{x{}^{\prime }}=\frac{\frac{a}{b}y}{x}=\frac{a}{b}k】$

4、面积：$S\to S{}^{\prime }\mathrm{变}\Rightarrow S^{\prime }=\frac{a}{b}S$

5、弦长：$l=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|\Rightarrow l^{\prime }=\sqrt{1+(\frac{a^2}{b^2}{k}^2)}|x_1-x_2|$，即$l^{\prime }=\frac{\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}{k}^2}}{\sqrt{1+k^2}}l$

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将单位圆拉伸为椭圆（不推荐）

$x^{{}^{\prime }2}+y^{{}^{\prime }2}=1$

$x=a{x}^{{}^{\prime }}y=b{y}^{{}^{\prime }}$

$x^{{}^{\prime }}=\frac{x}{a}{y}^{{}^{\prime }}=\frac{y}{b}$

$(\frac{x}{a}{)}^2+(\frac{y}{b}{)}^2=1$

1、定点：$P{‘}(x_0,y_0)\Rightarrow P({\color{Red} a} x_0,{\color{Red} b y_0)} $

2、椭圆变圆，$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x_2{}^{\prime }}{a^2}+\frac{y^2{}^{\prime }}{b^2}=a^2【y{}^{\prime }=\frac{a}{b}y】$

3、斜率：$k{}^{\prime }\to k\Rightarrow k=\frac{b}{a}k{}^{\prime }【\frac{y{}^{\prime }}{x{}^{\prime }}=\frac{\frac{a}{b}y}{x}=\frac{a}{b}k】$

4、面积：$S{}^{\prime }\to S\mathrm{变}\Rightarrow S=abS{}^{\prime }$

5、弦长：圆的弦长$l^{\prime }=\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}=\sqrt{(k\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }x{)}^2}=\sqrt{k^2+1}\mathrm{\Delta }x$

拉伸后椭圆的弦长$l=\sqrt{({\color{Red} a} \Delta x)^2+({\color{Red} b} \Delta y)^2} =\sqrt{({\color{Red} b} k\Delta x)^2+({\color{Red} a} \Delta x)^2} $

$=\sqrt{a^2+b^2{k}^2}\mathrm{\Delta }x$

$\frac{l}{l^{\prime }}=\frac{\sqrt{a^2+b^2{k}^2}}{\sqrt{1+k^2}}$拉伸以后弦长变化与斜率${\color{Green} k} $\mathrm{有}\mathrm{关}！（${\color{Red} 不推荐变换为单位圆}$)

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由此可见，第一种仿射于计算弦长更有效！

题型识别：

1、与面积相关（不一定非要三角形）

2、与定值相关

3、与定点相关

4、出现过圆心的直线

大前提：椭圆题目，4条，任何出现2条，但凡第4条出现+其余4条，90%用仿射

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例1.$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\mathrm{求}{S}_{△OAB}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{值}。$

<img src="h:\椭圆仿射1.png" alt="椭圆仿射1" style="zoom:50%;" />

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例2.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$,离心率$\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,一个长轴的顶点在直线$y=x+2$上，若直线$l$与椭圆交于$P,Q$两点,$O$为坐标原点，直线$OP$的斜率为$k_1$,直线$OQ$的斜率为$k_2$.

$(1)\mathrm{求}\mathrm{该}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{程}：\frac{x^2}{4}+y^2=1$

$(2)\mathrm{若}{k}_1{k}_2=-\frac{1}{4}，\mathrm{试}\mathrm{问}△OPQ\mathrm{的}\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{值}？\mathrm{若}\mathrm{是}，\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{定}\mathrm{值}；\mathrm{若}\mathrm{不}\mathrm{是}，\mathrm{请}\mathrm{说}\mathrm{明}\mathrm{理}\mathrm{由}$(定值1)

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例3.2019年11月宁波十校联考16题：已知椭圆$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{6}=1$，倾斜角为$ 60^{\circ }$\mathrm{的}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{与}\mathrm{椭}\mathrm{圆}，\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{交}\mathrm{于}$A,B$\mathrm{两}\mathrm{点}\mathrm{且}$ |AB|=\cfrac{8\sqrt{30} }{9}$，\mathrm{点}C\mathrm{是}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{于}$A,B$的一点，则 $△ABC$面积的最大值为___________;

(答案：$S_{\mathrm{圆}}=\frac{16}{9}\sqrt{50}，S_{\mathrm{椭}}=\frac{16}{9}\sqrt{20}$)

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例4.已知点$A(0,-2),$椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2},F$是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为$\frac{2\sqrt{3}}{3},O$为坐标原点。

$(1)\mathrm{求}E\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{程}：\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2)设过点$A$的直线与E相交于$PQ\mathrm{两}\mathrm{点}，\mathrm{当}△OPQ\mathrm{面}\mathrm{积}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{时}，\mathrm{求}l$的方程。

(直角三角形面积最大，圆心到直线$l:k^{\prime }x-y-4=0\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}d\mathrm{为}\sqrt{2},k^{\prime }=\pm \sqrt{7},k=\pm \frac{\sqrt{7}}{2},l_{PQ}:y=\pm \frac{\sqrt{7}}{2}x-2$)

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例5.如图椭圆的中心点为原点$O$，离心离$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,一条准线的方程为$x=2\sqrt{2} $

<img src="h:\仿射例4图.png" alt="仿射例4图" style="zoom:50%;" />

(1)求该椭圆的标准方程; $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$
(2)设动点P满足$\overrightarrow{OP} =\overrightarrow{OM} +2\overrightarrow{ON} $\mathrm{其}\mathrm{中}M,N\mathrm{是}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{点}，\mathrm{直}\mathrm{线}OM\mathrm{与}ON\mathrm{的}\mathrm{斜}\mathrm{率}\mathrm{之}\mathrm{积}\mathrm{为}$-\cfrac{1}{2}$,\mathrm{问}：\mathrm{是}\mathrm{否}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{两}\mathrm{点}\mathrm{定}\mathrm{点}$F_1,F_2,$\mathrm{使}\mathrm{得}$|PF_1|+|PF_2| $\mathrm{为}\mathrm{定}\mathrm{值}，\mathrm{若}\mathrm{存}\mathrm{在}，\mathrm{求}$F_1,F_2$的坐标；若不存在，说明理由。

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例6.2019年温州一模第9题：如图，$P\mathrm{为}{E}_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上的一动点，过点P作椭圆$E_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\lambda (0<\lambda <1)$ 的两条切线PA,PB,斜率分别为$k_1,k_2,\mathrm{若}{k}_1,k_2$为定值，则$\lambda =(c)$

<img src="h:\仿射例6图.png" alt="仿射例6图" style="zoom:50%;" />

$A.-\frac{1}{4}B.\frac{\sqrt{2}}{4}C.\frac{1}{2}D.\frac{\sqrt{2}}{2}$

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例7.已知椭圆$C:9x^2+y^2=m^2(m>0),$直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B线段AB的中点为$M$:

(1)证明：直线$OM$的斜率与直线$l$的斜率的乘积为定值。

(2)若$l\mathrm{过}\mathrm{点}(\frac{m}{3},m),$延长线段OM与C将于点P，四边形$OAPB$能否为平行四边形？若能，求此时$l$的斜率；若不能，说明理由。

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例8.已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2},A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB$的面积为1

(1)求椭圆$C$的方程;$\frac{x^2}{4}+y^2=1$
(2)设$P$是椭圆$C$上的一点,直线$PA\mathrm{与}y$轴交于点M,直线$PB\mathrm{与}x$轴交于点$N$,求证:|$AN|\cdot |BM|$为定值